Questa pagina è stata scritta da studenti di filosofia del linguaggio come manuale di pronto soccorso per gli studenti che non hanno ancora studiato logica. Lo scopo e' avere un rapido prontuario per leggere le formule logiche che compaiono spesso nei testi di filosofia. La pagina vuole essere un aiuto immediato alla lettura delle formule (del tipo: nessun panico), prima ancora che uno studente abbia avuto il tempo di leggere una introduzione alla logica o seguire un corso di logica (entrambe le cose vivamente raccomandate per ogni studente che voglia dedicarsi alla filosofia).


 L'ABC DEL LINGUAGGIO LOGICO  

In estrema sintesi, la logica è una scienza autonoma che studia i metodi e i princì più usati nel distinguere i ragionamenti corretti da quelli scorretti. Per Aristotele la logica è la scienza che riguarda gli enunciati che possono essere veri o falsi.  In una parola la logica si occupa della relazione di "conseguenza logica", cioe'  analizza come nel ragionamento si puo' preservare la verita' (se un ragionamento ha premesse vere ed e' corretto portera' a conclusioni vere).
Da Aristotele e gli stoici a Leibniz si sono usati in logica simboli per proposizioni e termini. Durante il nostro secolo ( più esattamente da Boole e Frege in poi ), la logica si è servita di un linguaggio artificiale molto più ampiamente che nel passato.
Qui ci limitiamo a mostrare in modo elementare e intuitivo come si leggono alcune formule del linguaggio logico di base.
 


I simboli per le proposizioni

Così per convenzione si indicano le proposizioni semplici (o atomiche) con le lettere dell'alfabeto a partire da p in poi (p, q, r, etc.) ; così, ad esempio:

Ad ogni proposizione noi attribuiamo un valore di verità (V o F), che nei succitati casi è determinato dal verificarsi dello stato di cose corrispondente.

Le cose si complicano quando ci troviamo di fronte a proposizioni composte (o molecolari), cioè scomponibili in più proposizioni semplici, ad esempio di questo tipo :

  1. Marco corre e parla ;
  2. I premi saranno pagati in caso di malattia o di disoccupazione ;
  3. Giulia passerà l'esame solo se studierà molto.
  4. Marco non parla
  5. Queste si possono scomporre come segue :
    1. (Marco corre) e (Marco parla) ;
    2. (I premi saranno pagati in caso di malattia) o (I premi saranno pagati in caso di disoccupazione) ;
    3. Se (Giulia studierà molto) allora (Giulia passerà l'esame).
    4. non (Marco parla)

    Si può notare che le proposizioni composte sono composte con connettivi proposizionali (e, o, se...allora,...). Per questo si puo' considerare anche la (4) una proposizione composta: essa contiene infatti un commettivo proposizionale ("non"). Come formalizzare tali proposizioni? Introducendo simboli dei connettivi proposizionali (cioè le particelle e, o, se, non, se e solo se); vi sono diversi simboli usati nella letteratura logica; per semplicità grafica noi useremo queste corrispondenze:
     

    non -
    e &
    o v
    se...allora ->
    se e solo se <->
    Quindi 1, 2, 3, 4 diventano rispettivamente :
    1. p & q
    2. r v s
    3. m -> n
    4. - p
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I valori di verità.

I valori di verità delle proposizioni possono essere calcolati con il semplice metodo delle tavole di verità o matrici.

NEGAZIONE : (se p è vero, - p è falso; se p è falso, - p è vero)
 
- p
V F
F V
 

Ci sono diverse possibilità di combinazione dei valori di verità; se prendiamo ad esempio due proposizioni, abbiamo 16 possibili combinazioni di valori di verità (che corrispondono a 16 possibili connettivi bi-argomentali). Diamo qui di seguito l'indicazione delle tavole di verità dei connettivi piu' usati nei formalismi logici correnti.
 



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P Q

P v Q

P -> Q
P<->Q P&Q







V V
V V

V
V V






F
V F
V V

F
F F






F
F V
V V

V
F F






F
F F
V F

V
V F






F
 

Nelle prime due colonne (non segnate da numeri) abbiamo le quattro possibili combinazioni di valori di verita' di P e Q (possiamo pensarle come le quattro situazioni possibili rispetto all'accadere e non accadere di P e Q). Sotto le colonne 2 e 8 abbiamo i valori di verita' (le condizioni di verita') della disgiunzione (vel)  e della congiunzione.
La tavola di verita' della colonna 2 vuol dire che "P v Q" e' vera a condizione che sia vera una delle due proposizioni componenti;
La tavola di verita' della colonna 3 vuol dire che "P & Q" e' vera a condizione che siano vere entrambe.
Sotto le colonne 5 e 8 si danno le tavole di verita' del condizionale e del bicondizionale. Per definizione il condizionale (che si legge "se...allora..." oppure ".. solo se ...") "P ->Q" e' vero se l'antecedente ("P") e' falso o il conseguente ("Q") e' vero. In una parola e' falso solo nel caso in cui l'antecedente sia vero e il conseguente falso.

Alcune proposizioni particolari vengono chiamate tautologie, altre dette contraddizioni.

Una tautologia è una proposizione sempre vera per qualsiasi assegnazione di valori di verità ai suoi componenti
( es."p v -p", "piove o non piove"). Vedi il caso della tabella 1.
Una contraddizione risulta invece sempre falsa qualunque valore di verità venga assegnato ai suoi componenti
( es. "p & -p", "piove e non piove"). Vedi il caso della tabella 16.
Questa terminologia e' stata inaugurata dal Tractatus di Wittgenstein.
 
 
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Simboli per nomi e predicati.

Sino ad ora le proposizioni sono state considerate unitamente, senza essere scomposte in soggetto, predicato, copula, etc.; in certi casi, tuttavia, le precedenti regole di formalizzazione non funzionano più. Prendiamo ad esempio il famoso sillogismo :
 
 

Così formalizzato, però, l'argomento perde la sua evidente validità. Infatti non può essere verificato con il metodo delle matrici o tavole di verità; la sua validità dipende dalla struttura logica interna delle proposizioni.  Occorre dunque trovare delle tecniche di formalizzazione adeguate. Pima di presentare la risposta della logica moderna (i quantificatori) diamo la terminologia base di come le varie espressioni del linguaggio naturale si mettono nel letto di Procuste del formalismo logico.

Consideriamo la proposizione Socrate è un uomo (= Socrate è umano);
"Socrate" è un terminesingolare,
"uomo" è un predicato.

Per termine singolare intendiamo un'espressione che si riferisce a un singolo individuo,
per predicato un'espressione che si riferisce a una classe.

Useremo per i termini singolari le lettere minuscole dell'alfabeto, per i predicati le maiuscole. Esempi :

  1. Socrate è un uomo = U(s)        o anche, semplificando,  Us
  2. Micio è un gatto = G(m)           o anche, semplificando, Gm
 
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Quantificatori.

Alle lettere a, b, c, etc. (dette costanti individuali), si affiancano le lettere x, y, w, z, dette variabili individuali ; sostituendole alle  prime si ottiene una

funzione proposizionale (Ux), un'espressione né vera né falsa (in attesa di specificare l'argomento).

Come formalizzare però le seguenti proposizioni ? :

Introducendo i quantificatori
Quantificatore universale :  Vx  = per ogni x....
Quantificatore esistenziale :E x = per qualche x... [o anche "esiste almeno un x tale che....."]
NB: per il quantificatore universale si usa una "A" rovesciata e per il quantificatore esistenziale o particolare si usa una "E" rovesciata.
Per semplicità (dato che usiamo html) qui si userà al posto della "A" rovesciata una "V" in corsivo, e al posto della "E" rovesciata una "E".
Ed ecco le rispettive formalizzazioni:
 
  • 1)  Vx Mx
  • 2) Ex Bx
  • 3) Vx (Ux -> Mx)
  • [La quantificazione universale esprime una proposizione vera se, e solo se, tutti i suoi casi di sostituzione sono veri ;
    quella esistenziale se vi è almeno un caso in cui sostituendo la x si ottiene una proposizione vera]
     
    Possiamo quindi  formalizzare l'esempio di sillogismo dato sopra
       
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    Esempi di proposizioni più complesse.
     
     

    ( Leggi : per ogni x esiste un y tale che se x è uomo e y è donna, allora x ama y ).

    ( Leggi : per ogni x, se x è umano, allora x ha difetti ). ( Leggi : per tutti gli x, per tutti gli y, se x è uomo e y è uomo, allora x e' diverso da y ). ( Leggi : esiste x e esiste y tale che x è studente e y è studente e xè  diverso da y ).   Ex E y ( x diff y ) & Vx Vy Vz ( x=x= z v   y= z ).

    ( Leggi : esiste un x, esiste un y non uguali, e per tutti gli x, per tutti gli y e per tutti gli z, o x= y, o x= z, o y= z ).

                    (a)   Vx Ey ( Ux & Dy) -> Axy ))

    (a) Leggi: per tutti gli x esiste un y tale che, se x è  uomo e y è  donna, allora x ama y

                    (b)   Ey Vx  ( Ux & Dy) -> Axy ))

    (b) Leggi: esiste un x tale che per tutti gli y, se x è un uomo e y è  una donna, allora x ama y
     
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    SUGGERIMENTI per proseguire:

    Vedi le lezioni SSIS del prof. Dario Palladino (logica proposizionale e sillogismo) nella sua pagina delle dispense

    Una breve discussione storica sulle origini del paradigma classico in logica del pro. Carlo Penco